6月2日下午，慶祝建校118周年相輝校慶系列學(xué)術(shù)報告第三十一場在相輝堂南堂舉行，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院青年研究員李穎洲以“從線性代數(shù)到量子計算”為題作報告，學(xué)院黨委書記王光臨主持報告會。

經(jīng)歷40多年的研究發(fā)展，量子計算從一個概念進(jìn)入到落地實現(xiàn)階段。有別于經(jīng)典計算機(jī)，量子計算機(jī)因為其不確定性和連續(xù)性的特征而創(chuàng)造了一種新的計算范式，能夠在特定問題上實現(xiàn)指數(shù)級別加速。李穎洲從線性代數(shù)出發(fā)，以數(shù)學(xué)視角分析量子算法，揭示了量子計算強(qiáng)大算力背后的理論基礎(chǔ)。

線性代數(shù)：分析量子算法的工具

(資料圖)

在經(jīng)典計算機(jī)中，基本計算單位是比特，每個比特可以表示“0”和“1”。在二進(jìn)制下，多個比特狀態(tài)可以表示一個數(shù)字，然后利用經(jīng)典電路邏輯，如“與”、“或”、“非”等邏輯門進(jìn)行各種運(yùn)算。那么量子計算機(jī)的基本單元是什么呢？李穎洲通過與經(jīng)典計算機(jī)對比引入了量子比特、量子邏輯門、測量等概念。

線性代數(shù)語言是我們精確描述這些概念不可或缺的工具。單個量子比特可以由復(fù)數(shù)域上任意單位長度的二維向量表示，單量子邏輯門則可以由2×2的酉矩陣表示，比如Pauli矩陣、Hadamard矩陣等等，而多量子比特的非耦合體系則由若干個單量子比特體系通過張量積得到。

“這是量子計算最有吸引力的特征之一，因為經(jīng)典比特的離散化數(shù)字表達(dá)使得我們只能表示有限多個數(shù)，但量子比特的連續(xù)性讓它能夠表示任何一個復(fù)向量，這樣使得我們在設(shè)計量子算法時有了更多的可能?！崩罘f洲說，當(dāng)多個量子比特耦合起來后，單量子邏輯門相當(dāng)于可以作用在多個量子比特上，實現(xiàn)“隱形并行計算”。

李穎洲還指出，量子計算也引入了量子力學(xué)的不確定性，量子比特表示的量子態(tài)本質(zhì)上是一個波函數(shù)。與“薛定諤的貓”一樣，不打開盒子之前我們無法知道貓的生死，量子比特必須經(jīng)過測量才能得到可接收到的確定性信息，并且每次測量結(jié)果都可能不同，得到每個結(jié)果的概率由對應(yīng)向量元素的模長平方?jīng)Q定。

在經(jīng)典計算機(jī)中，計算結(jié)果“所見即所得”，因此經(jīng)典算法不需要考慮測量對結(jié)果帶來的影響。但在設(shè)計量子算法時，我們往往需要將相同的量子線路運(yùn)行若干次，用頻率去近似概率從而得到所需的計算結(jié)果。

量子計算是對經(jīng)典計算的補(bǔ)充

從量子邏輯門到量子算法，李穎洲通過布爾函數(shù)的例子說明了簡單量子算法線路是如何構(gòu)造的。在更廣泛的應(yīng)用中，比如分子模擬、計算化學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域，量子計算更是展現(xiàn)了它強(qiáng)大的計算能力。

李穎洲分享了自己在電子結(jié)構(gòu)計算領(lǐng)域的相關(guān)工作，包括設(shè)計量子算法來求解多體薛定諤方程中的基態(tài)與激發(fā)態(tài)能量問題，使得原本在經(jīng)典計算中需要指數(shù)量級計算資源的問題，在VQE框架下約化為多項式量級的量子計算部分與傳統(tǒng)計算機(jī)上的參數(shù)優(yōu)化部分。類似的想法可以為解決一部分困難的科學(xué)計算問題提供另一種思路。

然而，李穎洲也指出，量子計算并非對經(jīng)典計算的完全超越，而是一種補(bǔ)充。在許多傳統(tǒng)問題上，量子計算并不能帶來有效的性能提升。“量子力學(xué)告訴我們量子態(tài)沒有通用的克隆算法，這對我們復(fù)制未知的量子態(tài)造成了巨大困難，而經(jīng)典計算機(jī)可以輕而易舉的做到這件事?！?/p>

量子計算遇到的另一個巨大困難，是算法噪音。任何量子計算機(jī)在運(yùn)行時都不可能避免與環(huán)境發(fā)生相互作用，從而對量子比特存儲的量子態(tài)產(chǎn)生擾動，降低量子比特的表達(dá)能力，使得量子比特在實際運(yùn)用時喪失連續(xù)性。如果量子線路深度過大，那最終的計算結(jié)果很可能被淹沒在大量噪音中無法被測量到。所以在量子計算中，誤差校正算法也一直是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它決定了那些理論上的量子算法是否真的能通過量子計算機(jī)實現(xiàn)。

李穎洲表示，正是由于量子計算有自己獨(dú)特的優(yōu)勢和劣勢，我們在設(shè)計量子算法的時候需要特別注意問題的特征。因為量子計算的邏輯非常貼近微觀量子世界，所以它在解決量子力學(xué)帶來的科學(xué)計算問題上是非常有效的，這也將會是未來量子計算發(fā)展研究的重點(diǎn)之一。

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